Petit théorème de Fermat par récurrence

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier.

1. Démontrer que, pour tout entier \(k \in \left\lbrace 1;...;p-1 \right\rbrace\) , on a :  \(\displaystyle k \times \binom{p}{k}=p \times \binom{p-1}{k-1}\) .

2. Montrer que \(p\) divise \(\displaystyle \binom{p}{k}\) pour tout entier \(k \in \left\lbrace 1;...;p-1 \right\rbrace\) .

3. En utilisant la formule du binôme de Newton, en déduire que, pour \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) , on a :
\((a+b)^p \equiv a^p +b^p \ [p]\) .

4. Démontrer par récurrence sur  \(n \in \mathbb{N}^\ast\)  la forme faible du petit théorème de Fermat.